Stała Millsa to liczba rzeczywista A, dla której kolejne wartości
są liczbami pierwszymi. W tym sensie jedna stała może opisywać nieskończony ciąg liczb pierwszych. Nie jest to jednak praktyczny algorytm: użycie wzoru dla dużych n wymaga znajomości A z bardzo dużą precyzją.
Najczęściej cytowana wartość tej stałej to:
Dla niej początek ciągu wygląda tak:
Te liczby nazywa się czasem liczbami pierwszymi Millsa.
Skąd bierze się konstrukcja? Link to heading
Jeżeli chcemy mieć:
to musi zachodzić:
Po wzięciu pierwiastka dostajemy przedział, w którym musi leżeć A:
Każda kolejna liczba pierwsza zawęża więc możliwe położenie stałej. Konstrukcja działa tak, aby te przedziały były ze sobą zgodne.
Załóżmy, że mamy już liczbę pierwszą pₙ. Ponieważ:
następna liczba pierwsza powinna leżeć między kolejnymi sześcianami:
Na przykład dla p₁ = 2 szukamy liczby pierwszej między 8 i 27. Najmniejsza taka liczba to 11. Potem między 11³ = 1331 i 12³ = 1728 pojawia się 1361. Dalej z 1361³ wychodzi kolejny ogromny przedział, w którym można wybrać następną liczbę pierwszą.
Dlaczego sześciany? Link to heading
Kluczowy fakt jest taki, że między kolejnymi sześcianami odstęp jest duży:
Dla dużego x jest to szeroki przedział. Mills użył znanych wyników o przerwach między liczbami pierwszymi, aby zagwarantować, że w takim przedziale znajdzie się liczba pierwsza.
Gdyby zamiast wykładników 3ⁿ użyć 2ⁿ, trzeba byłoby gwarantować liczby pierwsze między kolejnymi kwadratami:
To jest znacznie trudniejsze i prowadzi do hipotezy Legendre’a, która pozostaje nierozwiązana. Sześciany dają więcej miejsca, dlatego konstrukcja Millsa jest osiągalna znanymi metodami.
Dlaczego to nie jest generator? Link to heading
Formalnie wzór:
daje liczby pierwsze. Praktycznie nie jest to jednak użyteczny generator. Żeby policzyć duże n, trzeba znać A z bardzo dużą precyzją. A te kolejne cyfry stałej są wyznaczane przez kolejne liczby pierwsze z konstrukcji.
Innymi słowy: stała Millsa nie daje taniej drogi do nowych liczb pierwszych. Pokazuje raczej, że nieskończony ciąg liczb pierwszych można zakodować w jednej liczbie rzeczywistej.
Najkrócej: sedno stałej Millsa polega na kodowaniu, nie na obliczeniowej praktyczności.
Przypis Link to heading
Oryginalna publikacja: W. H. Mills, „A Prime-Representing Function”, Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947), 604. Strona AMS: https://pubs.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2.