Matematyka on Field Laboratoryhttps://armum.eu/tags/matematyka/Recent content in Matematyka on Field LaboratoryHugopl-plWed, 22 Apr 2026 00:00:00 +0000Paradoks Kempnera: szereg harmoniczny bez cyfry 9https://armum.eu/posts/kempners-paradox/Wed, 22 Apr 2026 00:00:00 +0000https://armum.eu/posts/kempners-paradox/<p>Szereg harmoniczny jest jednym z najprostszych szeregów nieskończonych:</p> <div class="math-block">1 + ½ + ⅓ + ¼ + …</div> <p>Mimo że jego wyrazy maleją do zera, suma rośnie bez ograniczeń. Co zaskakujące, wystarczy usunąć z niego wszystkie składniki, których mianownik zawiera cyfrę 9, aby otrzymać szereg zbieżny. Ten obiekt nazywa się szeregiem Kempnera. Zwykle zapisuje się go jako sumę odwrotności tych liczb naturalnych, których zapis dziesiętny nie zawiera dziewiątki. Klasyczny przypadek ma wartość około 22.920676619264150…, choć prosty dowód zbieżności daje tylko bardzo luźne ograniczenie z góry.</p>